Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động

1. Giới thiệu tổng quan và Tính cấp thiết của đề tài

Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem - VIP) và bài toán tìm điểm bất động (Fixed Point Problem - FPP) là hai trụ cột lý thuyết quan trọng của Giải tích phi tuyến hiện đại. Trong những năm gần đây, bài toán tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một hay nhiều ánh xạ phi tuyến thu hút sự quan tâm đặc biệt của cộng đồng toán học thế giới bởi tính tổng quát và khả năng ứng dụng đa dạng.

Tính cấp thiết của đề tài xuất phát từ nhu cầu thực tiễn và lý thuyết: nhiều bài toán tối ưu hóa ràng buộc, bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi, cân bằng thị trường trong kinh tế học và bài toán khôi phục tín hiệu trong kỹ thuật đều có thể quy về việc tìm một điểm bất động đồng thời thỏa mãn điều kiện biến phân. Do đó, việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp lặp mới có tốc độ hội tụ nhanh, điều kiện giả định nhẹ hơn và hiệu quả tính toán cao là đòi hỏi khách quan và mang tính thời sự khoa học cao.

2. Mục tiêu và Đối tượng nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu

• Nghiên cứu, đề xuất một số thuật toán lặp cải tiến (như phương pháp chiếu, phương pháp dưới góc chiếu, phương pháp lặp kiểu Halpern, Viscosity hoặc Extragradient) để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động.
• Thiết lập và chứng minh các định lý hội tụ mạnh (strong convergence) và hội tụ yếu (weak convergence) của các dãy lặp được tạo ra bởi các thuật toán đề xuất.
• Đánh giá tốc độ hội tụ và thực hiện các thử nghiệm số nhằm minh họa tính khả thi và hiệu quả của các phương pháp lặp mới so với các thuật toán đã có.

Đối tượng và Phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Các toán tử phi tuyến (ánh xạ không giãn, ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ đơn điệu cực đại, ánh xạ bán không giãn...) và bài toán bất đẳng thức biến phân xác định trên tập điểm bất động của các toán tử này.
• Phạm vi nghiên cứu: Không gian Hilbert thực và không gian Banach phản xạ.

3. Phương pháp nghiên cứu và Phạm vi đề tài

Tác giả vận dụng phối hợp các phương pháp nghiên cứu toán học hiện đại, bao gồm:

• Phương pháp phân tích giải tích: Sử dụng các công cụ của giải tích hàm, lý thuyết toán tử phi tuyến, lý thuyết tập lồi và giải tích lồi.
• Phương pháp lặp toán tử: Xây dựng các sơ đồ lặp kết hợp giữa kỹ thuật chiếu tách, kỹ thuật xấp xỉ liên tục và phương pháp điểm béo/điểm trung bình.
• Phương pháp mô phỏng số: Sử dụng phần mềm lập trình toán học (như MATLAB/Python) để cài đặt thuật toán, chạy thực nghiệm số và so sánh hiệu năng.

4. Những đóng góp mới và Kết quả nghiên cứu nổi bật

• Đề xuất các sơ đồ lặp mới: Luận án đã xây dựng thành công một số phương pháp lặp hai bước và đa bước cải tiến, giảm bớt số lần tính toán toán tử chiếu trên tập lồi phức tạp.
• Nới lỏng điều kiện giả định: Chứng minh tính hội tụ của thuật toán dưới các điều kiện nới lỏng hơn về tính liên tục Lipschitz hoặc tính đơn điệu của toán tử, mở rộng phạm vi áp dụng của thuật toán.
• Kết quả hội tụ mạnh vững chắc: Thiết lập các điều kiện cần và đủ để dãy lặp hội tụ mạnh về nghiệm của bài toán mà không đòi hỏi không gian phải có chiều hữu hạn.
• Minh họa số rõ ràng: Đưa ra các ví dụ số cụ thể chứng minh tính đúng đắn của lý thuyết và thể hiện ưu thế về tốc độ hội tụ của thuật toán mới đề xuất.

5. Ý nghĩa khoa học và Giá trị thực tiễn

Ý nghĩa khoa học

Công trình đóng góp vào việc làm phong phú thêm kho tàng lý thuyết của Giải tích phi tuyến, đặc biệt là lý thuyết điểm bất động và lý thuyết bất đẳng thức biến phân. Các định lý hội tụ được chứng minh trong luận án cung cấp công cụ lý thuyết mạnh mẽ cho các nhà nghiên cứu trong cùng lĩnh vực.

Giá trị thực tiễn

Các thuật toán đề xuất trong đề tài có khả năng ứng dụng trực tiếp vào việc giải quyết các bài toán thực tế phức tạp trong kinh tế và kỹ thuật, bao gồm:

• Mô hình hóa và giải bài toán cân bằng mạng giao thông, cân bằng thị trường tài chính và điện lực.
• Tối ưu hóa dung lượng và xử lý hình ảnh/tín hiệu số trong viễn thông.
• Xây dựng thuật toán huấn luyện cho các mô hình học máy (Machine Learning) có ràng buộc phi tuyến.

6. Thông tin tác giả và Cơ sở đào tạo

• Tên đề tài luận văn / luận án: Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động
• Tác giả: Nguyễn Đức Trường
• Cơ sở đào tạo / Nguồn phát hành: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
• Chuyên ngành: Toán học (Thuộc nhóm ngành Khoa học tự nhiên)
• Thời gian công bố: 19-06-2025